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Le sommaire
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I) Application linéaire - Matrice

A. Application linéaire
B. Matrice d'une application linéaire

II) Systèmes linéaires - Déterminants

A. Résolution de systèmes - Exemples simples
B. Déterminants
C. Résolution de systèmes linéaires

III) Calcul matriciel

A. Définition
B. Produit de matrices
C. Puissance d'une matrice carré
D. Matrice et déterminant

IV) Changement de base

A. Changement de base dans un espace vectoriel
B. Changement de base dans deux espaces vectoriels

V) Réduction de matrices - Diagonalisation

A. Valeur propre, vecteur propre, polynôme caractéristique
B. Déterminant des sous-espaces propres
C. Trigonalisation
D. Résolution de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

VI) Exercices

A. Exercices 1, 2,3 : Applications linéaires, matrices
B. Exercice 4 : Déterminant
C. Exercice 5 : Systèmes linéaires
D. Exercice 6 : Calcul matriciel
E. Exercice 7 : Calcul d'inverse de matrice
F. Exercice 8 : Diagonalisation d'une matrice
G. Exercice 9 : Trigonalisation de matrice
H. Exercice 10 : Résolution d'un système différentiel linéaire
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Résumé du document
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Cours de Mathématiques niveau Ecole d'ingénieurs portant sur les matrices, outil aux multiples usages. Il regroupe les principaux théorèmes et propriétés qui régissent le fonctionnement des matrices en mathématiques dans une première partie.

Extraits

[...] On exprime y et z en fonction de b et c. Théorème 10 : Soit , avec n l'ordre de la matrice. Théorème 9 : est inversible si et seulement si . Définition 16 : Soit . On dit que A est inversible s'il existe tel que . Dans ce cas, on note . Théorème 8 : Si A et B sont des matrices carrés d'ordre alors et . Définition 15 : Si tel qu'il existe , on dit que A est nilpotente. [...]


[...] On note et La relation qui lie est ou encore Cas particulier avec E=F Soit E un espace vectoriel de dimension n et une application linéaire. Soient deux bases B et appartenant à E et P la matrice de passage de la base B à la base B'. On note et . Soit , on note X les composantes de dans B. les composantes de dans B'. On pose , on note Y les composantes de dans B. les composantes de dans B'. s'écrit dans : avec . [...]


[...] Remarque sur la définition 5 : Si , alors admet une solution unique. Les formules de Cramer donne : Définition Soit . On appelle le nombre le déterminant du système. On le note Espace vectoriel de dimension point y y Définition 4 : Soient : dim(E) = B une base de E dim(F) = C une base de F φ : E F une application linéaire Φ est entièrement caractérisé par les composantes des images d’une base de E dans une base de F. [...]


[...] Les valeurs propres sont : . * Sous-espaces propres pour la valeur propre On résout On choisit comme vecteur propre associé à la valeur propre . pour la valeur propre On résout . On choisit comme vecteur propre associé à la valeur propre et est une valeur double et la dimension de est 2. A est diagonalisable. La matrice A dans la base C devient dans la base B. * Matrice P et Soit P la matrice de passage de la base canonique à la base . [...]


[...] ( Si La solution de est la solution de L'existence d'une solution de est caractérisée par la nullité ou non du nombre équations inconnues Soit 2 Déterminants Les déterminants ne se calculent que pour des matrices rectangulaires, c'est-à-dire dont le nombre de lignes et de colonnes est identique Déterminant d'ordre 3 Soit un déterminant Déterminant d'ordre quelconque n Le principe est le même que pour une matrice 3x3 mais les calculs sont beaucoup plus long Propriétés de calcul des déterminants 3 Résolution de systèmes linéaires Soit : sont les p inconnues. est un système de n équations à p inconnues. est le second membre de Si , on dit que est un système homogène. Si l'on note , alors on peut écrire de cette façon : . Résoudre c'est : 1. dire que peut s'écrire comme combinaison linéaire de si la réponse à la condition ci-dessus est oui, le problème est de savoir comment écrire en fonction de . Pour cela : 1. [...]

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Informations sur le doc

Date de publication
02/07/2010
Langue
français
Format
Word
Type
cours
Nombre de pages
37 pages
Niveau
grand public
Consulté
3 fois

Informations sur l'auteur Thomas M. (étudiant)

Niveau
Grand public
Etude suivie
droit des...
Note du document :
         
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