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Le sommaire
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I) Les ensembles de nombre
II) Les nombres complexes : écriture algébrique
III) Opérations dans l'ensemble des complexes
IV) Complexe conjugué
V) Equations du second degré avec discriminant négatif
VI) Écriture trigonométrique d'un nombre complexe
VII) Forme exponentielle d'un nombre complexe
VIII) Géométrie et nombres complexes
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Résumé du document
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Cours de Terminale S portant sur les nombres complexes. Très complet, avec des schémas et des illustrations, des exemples d'application, et toutes les démonstrations exigibles au bac. Présentation soignée (sous-titres, titres mis en valeur, etc.). Idéal dans le cadre de révisions pour le baccalauréat ou pour revoir et approfondir certaines notions mal comprises.

Extraits

[...] Hérédité : z k = z k . d'après l'hypothèse de récurrence : On a montré que si l'égalité est vraie à un rang k , elle est aussi vrai au rang k Conclusion : Pour tout entier n , z n = z n C2 Par récurrence : Initialisation : Pour n=0 : arg z 0 0×arg z Pour l'égalité est vraie. Hérédité : On suppose que l'égalité est vraie pour Montrer qu'elle est vraie pour k k . [...]


[...] Géométrie et nombre complexes 1. Rappels et angles orientés Rappels : z , il existe une unique partie réelle de z et une unique partie imaginaire de que l'on représente sur deux axes. On a alors placé un point M z . Le repère doit être orthonormé direct. Soit z z correspond à la distance entre O et M : z =OM e 1 (vecteur Soit z , arg z correspond à la mesure de l'angle orienté entre unitaire de l'axe des réels) et . [...]


[...] L'ensemble des complexes est noté II. Les nombres complexes : écriture algébrique On appelle ensemble des nombres complexes, un ensemble contenant ℝ , tel que : il existe dans cet ensemble un élément noté i , tel que tout élément de cet ensemble s'écrit sous la forme , où a a∈ℝ , b∈ℝ cet ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolonge celle de Cet ensemble se note ℝ . ℂ , et un complexe se note en général, z . [...]


[...] : 2ème cas : Équation du type : calculons Si z ou 2a z2 = 2a Si 2a Si z 2a ou z 2a Remarque : z1=z 2 VI. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe 1. Argument d'un nombre complexe Soit que z , et M z e e [ ] 2 dans le plan complexe repéré par , e e 2 , orthonormé direct tel On appelle argument de z , noté arg z , une mesure de l'angle orienté e 1 . [...]


[...] On appelle produit de z et que l'on note le complexe égal à : zz ℜz ' ℑz ' ℑz ' soit : Propriétés : ' Commutative : Associative : zz z ' z z z ' z ' ' zz z ' ' z Le 1 est neutre : z , il existe tel que zz ' = s'appelle l'inverse de z et se note z Conséquences : Résolution d'équation du 1er degré dans L'équation complexe ℂ : z , une inconnue az où a et b sont des complexes et complexe, a pour unique solution z = . a IV. Complexe conjugué Soit z . On appelle conjugué de z , le complexe z , qui est égal à : z z Soit : z z Application : On utilise le conjugué d'un complexe pour déterminer des inverses ou des divisions. Propriété 1 : Caractérisation des réels ou des imaginaires z z z=i. [...]

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Informations sur le doc

Date de publication
04/07/2007
Langue
français
Format
pdf
Type
cours
Nombre de pages
17 pages
Niveau
grand public
Consulté
9 fois

Informations sur l'auteur Pascal C. (étudiant)

Niveau
Grand public
Etude suivie
mathématiques
Ecole, université
Jean Mermoz
Note du document :
         
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