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Le sommaire
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I) Réduction
II) Algèbre bilinéaire
III) Topologie
IV) Série numérique
V) Série de fonctions
VI) Série entières
VII) Série de Fourier
VIII) Intégration
IX) Les équations différentielles
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Résumé du document
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Cours condensé de Mathématiques (Maths Spé) couvrant le programme de la filière MP tout entier aidant à assimiler les enjeux du programme dans sa totalité. Ainsi, il est recommandé pour la période de préparation aux concours des grandes écoles scientifiques ainsi que pour les étudiants préparant un DEUG.

Extraits

[...] - Généralités : Forme générale :Soit F un K evn de dimension nie, p 2 N et g une application dé nie sur un ouvert V de R F p+1 à valeurs dans La relation g y 0 ; y ; y = 0 est dite équation di¤érentielle d’ ordre Forme résolue : Avant tout, on essaye de ramener l’ équation di¤érentielle à la forme dite résolue : y = f y ; y où f une application dé nie sur un ouvert U de R F p à valeurs dans Les théorèmes de CauchyLipschitz et leurs conséquences sont valables uniquement pour ce genre d’ équation différentielle Solution : On appelle solution de sur un intervalle I de toute fonction de I à valeurs dans p fois dérivables sur I et véri ant : 8 t 2 2 U et Solution maximale : La solution = f ; de sur l’ intervalle I est dite maximale, lorsqu’ n’ on arrive ( solution de sur un intervalle J I J plus à la prolonger au déla de l’ intervalle I:càd si : , alors La restriction de sur I est égale à = J et = ) Problème de Cauchy : (t0 ; x0 ; x1 ; xp 1 ) 2 les relations : y = f y ; y y (t0 ) = x0 ; y 0 (t0 ) = x1 ; y (t0 ) = xp 1 sont dites un problème de Cauchy pour une équatioin di¤érentielle d’ ordre 2. - Equation di¤érentielle linéaire : i. Cadre général : ii. Soit F un K evn de dimension nie n 2 N , I un intervalle de a : I t 7 ! [...]


[...] Théorème de Bolzano-Weierstrass : En dimension nie, de toute suite borné, on peut extraire une sous-suite convergente. Compact en dimension nie : Les compacts en dimension nie sont les fermés-bornés. Complet en dim nie : Tous evn de dimension nie est complet. Extrema de fonction continue : Toute fonction numérique continue sur un compact est borné et atteint ses bornes Continuite des applications multilinéaire : En dimension nie, toute application linéaire ( on général multilinéaire ) est continue. Théorème de Heine : Toute application continue sur un compact est uniformément continue sur ce compact. [...]


[...] f 2 C 1 ; et f 0 intégrable sur Si f intégrable sur alors la série Exemples de références : 7 ! 7 7 7 est intégrable au voisinage de ssi > t 1 est intégrable au voisinage de 0 ssi < ! t 1 ! est intégrable au voisinage de a ssi < 1 ! est intégrable au voisinage de ssi ( > ou ( = 1 et > : t ln 1 est intégrable au voisinage de 0 ssi ( < ou ( = 1 et > : ! [...]


[...] Z b X XZ b n an t dt = an tn dt a n=0 n=0 a Développement en série entière : une fonction f est DSE à l’ origine s’ existe il 8x2] > 0 tel que f est de classe C 1 sur ] ; [ ; f = X f xn n=0 ; [ et Une fonction f est dite DSE au voisinage d’ point x0 ; si la fonction : x 7 ! f un 1 x0 ) est DSE à l’ origine. Une fonction f de classe C sur ] ; [ est DSE sur cet intervalle ssi la suite des restes de Taylor (Rn CS vers la fonction nulle sur cet intervalle. [...]


[...] Avec : Z x n Rn = f dt 0 Attention une fonction de classe C 1 n’ est pas forcément DSE : Sa série de Taylor peut-être de rayon nulle ou bien de somme di¤érente de Un DSE lorsqu’ existe est unique. il Quelques DSE usuels : 16 Fonction exp(x) cos(x) sin(x) ch(x) sh(x) + 1 X X DSE X xn n=0 ( n n Domaine de validité R R R R R n + xn ] pour ] xn n ] valable en x = 1 ] valable en x = ] valable en x = ] ] ] valable en x = ] valable en x = 2N = n=0 n=0 X x2n ( x2n+1 (2n + n=0 n=1 X ( X x2n n=0 X x2n+1 (2n + n=0 ( X xn ln(1 + ln(1 ( n+1 n=1 X xn n n=1 n arctan(x) argth(x) p p x + x2 arcsin(x) x2n+1 2n + 1 n=0 X 2n 2x 22n n=0 X 2n n ( x 2n n=0 X x2n+1 22n 2n + 1 n=0 X X ( x2n+1 2n + 1 G - Séries de fourier I - coe¢ cient Soit f 2 C 0 M2 ; alors x 7 ! [...]

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Informations sur le doc

Date de publication
03/10/2008
Langue
français
Format
pdf
Type
cours
Nombre de pages
23 pages
Niveau
grand public
Consulté
5 fois

Informations sur l'auteur Yasser A. (étudiant)

Niveau
Grand public
Etude suivie
droit des...
Note du document :
         
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