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Le sommaire
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A. Opérations
B. Compositions
C. Développements par intégration

Exemples d'utilisation
Exercices sur les développements limités
Solutions des exercices sur les développements limités
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Résumé du document
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Cours de mathématiques sur les développements limités avec une série d'exercices corrigés pour mettre le cours en application.

Extraits

[...] Il s’ensuit que f est strictement croissante sur R. Etant de plus continue, f réalisera donc une bijection entre l’ensemble des réels et l’intervalle ouvert dont les bornes seront les limites respectives de f en et + La fonction sinus étant bornée sur R est négligeable devant x au voisinage de l’infini, il s’ensuit que l’ensemble image de f sera exactement Si on note g la bijection réciproque de la seule solution x(α) de l’équation paramétrique sin(x)+x=α , pour α réel fixé, n’est donc autre que g(α). [...]


[...] Or ceci est une des traductions de l’existence du nombre dérivé de f en x0 avec f’(x0)=a1. Ainsi dire que f admet un développement limité d’ordre 1 en un point revient à dire que f est dérivable en ce point (ou admet un prolongement dérivable en ce point) _ Pour n l’existence d’un développement à l’ordre n en un point ne suffit plus pour assurer la dérivabilité de f (ou de son prolongement ) en ce point. Pour s’en convaincre il suffit d’examiner le contre-exemple élémentaire suivant : On considère f définie sur par x n sin n et prolongée en 0 par f est négligeable devant xn en vu la majoration x sin n x Ainsi f admet un développement d’ordre n en de partie régulière nulle. [...]


[...] Développer à l’ordre 3 en 0 les fonctions définies par : 1 ch ( 1 x ln(1 + x 8. Etudier les limites suivantes : sin(e x ) lim x + cos ( 3(cos(2 tan 4 ( 4 tan( x ) 1 lim x x cos( ) 3 x 6 + 2 x 4 x Etudier les limites suivantes : x lim π tan( 2 2 m x lim x réel fixé) m + x 10. Soit m un paramètre réel et f ( = x x + 1 + 3 x3 + mx + 1 Déterminer m pour que tende vers 0 lorsque x tend vers puis trouver pour cette valeur de m un équivalent simple de en Justifier l’existence d’une fonction f définie sur à valeurs dans R telle que : ln(1+ Développer ensuite f à l’ordre 3 au voisinage de Choisir les réels a et b de façon qu’au voisinage de 0 la différence tan(x)- o(xn) avec n entier le plus grand possible. [...]


[...] + (an + bn ) x n + x n ) car la somme de deux fonctions négligeables devant xn est encore négligeable devant xn. De même en multipliant f par la constante réelle λ on a aussitôt : λ λa0 + (λa1 ) x + . + (λan ) x n + x n ) Produits. Toujours avec les notations initiales, mais en utilisant ici les parties régulières, on obtient au voisinage de 0 : est un polynôme de degré au plus 2n. [...]


[...] Que peut on dire de la partie régulière de ce développement lorsque f est une fonction paire ? Même question lorsque f est supposée impaire Déterminer le D.L à l’ordre 3 en 0 des fonctions définies par les formules : + 9 x ) 3 Arctan(x+1) x sh( 5. Déterminer le D.L 3 en 0 de la fonction f définie sur par f(x)=Arcsin(1-x²) La fonction g définie sur par la même formule x ag(x)=Arcsin(1-x²) est elle développable à l’ordre 3 en 0 ? [...]

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Informations sur le doc

Date de publication
20/08/2007
Langue
français
Format
pdf
Type
cours
Nombre de pages
25 pages
Niveau
grand public
Consulté
2 fois

Informations sur l'auteur Rodérick V. (étudiant)

Niveau
Grand public
Etude suivie
droit des...
Ecole, université
SAINT-ETIEN...
Note du document :
         
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